Drie deuren

 Leestijd: 4 minuten1

Afgelopen zaterdag overleed Monty Hall, een Canadese presentator van spelprogramma’s, op de gezegende leeftijd van 96 jaar. Hij was de gastheer van meer dan 10 shows, zowel op radio als televisie, over een periode van meer dan 7 decennia.

Maar zijn naam zal voor altijd verbonden blijven met het kansrekeningsprobleem dat (in het Engels) zijn naam draagt, omdat het centraal  stond in zijn meest populaire show, Let’s make a deal.

montyhall

Monty Hall – credit: khiemtran87/Wikipedia

Het probleem is eenvoudig in opzet. Stel je drie gesloten deuren voor. Achter een ervan zit een grote, aantrekkelijke prijs (zoals een auto). Achter de andere twee zitten flutprijzen (een geit, in de overlevering). De presentator nodigt je uit een deur te kiezen, en dan win je wat erachter zit. Dan opent hij een van de andere twee deuren, waarachter een geit blijkt te zitten (hij weet natuurlijk waar de auto is), en stelt je dan voor van deur te veranderen. Is het in je voordeel de andere gesloten deur te verkiezen boven degene die je eerst aanwees?

En toch is het zo: de kans dat de auto achter de deur zit die je oorspronkelijk koos, is 1/3, en de kans dat hij achter de andere deur zit is 2/3.

Wiskundig gezien is het antwoord ja. Maar dat lijkt tegen de intuïtie in te gaan: er blijven twee ongeopende deuren over, eentje die de auto verbergt, de andere een geit. Hoe kan de waarschijnlijkheid dat de auto achter een van de deuren zit iets anders zijn dan 50%?

En toch is het zo: de kans dat de auto achter de deur zit die je oorspronkelijk koos, is 1/3, en de kans dat hij achter de andere deur zit is 2/3. (Een verklaring hiervoor vind je onderaan dit stukje.)

De verkeerde irrationaliteit

Dit vraagstuk wordt wel vaker aangehaald om aan te tonen hoe irrationeel het is niet van deur te veranderen. Maar ben je irrationeel enkel omdat je niet weet hoe je kansen berekent? Toen mijn neefje vier jaar oud was verkoos hij twee biljetten van 5 euro boven een biljet van 20 euro. Hij ging ervan uit dat twee bankbiljetten meer waard waren dan eentje – omdat hij niet begreep dat twee gelijkaardige stukjes papier zo’n verschillende waarde konden hebben. Een dergelijk gebrek aan begrip  is niet echt een geval van irrationaliteit, net zo min als de aanname dat de kans dat de auto achter een van twee gesloten deuren fifty-fifty is.

Toch is het Monty Hall probleem een schitterend voorbeeld van werkelijk irrationeel gedrag, dat niets te maken heeft met wiskundige onwetendheid. Slechts een kleine minderheid van de deelnemers in het spel veranderde van deur (en een deel daarvan had wellicht uitgerekend dat het de betere optie was). Maar als de anderen werkelijk geloofden dat de kans een gelijke 50% was voor beide deuren, waarom werd er dan zo weinig gewisseld van deur?

Misschien is de meest voor de hand liggende verklaring voor die behoudsgezindheid de status quo bias. Die beschrijft onze tendens om voor de optie te gaan die de minste inspanning vereist. Ze hebben een deur gekozen, de andere deur geeft hen (zo denken ze tenminste) geen beter vooruitzicht, waarom dan de moeite doen? Je kunt hier zelfs betwisten dat dit werkelijk irrationeel gedrag is: bij gelijke kansen is er inderdaad een extra cognitieve inspanning nodig om onze keuze te veranderen, zonder dat er een merkbaar voordeel aanhangt.

De juiste irrationaliteit

Maar er is meer. Sommige mensen houden mogelijk vast aan hun oorspronkelijke keuze omwille van het endowment effect. Dit geeft weer hoe we, in het algemeen, meer waarde hechten aan wat we hebben, dan aan wat we niet hebben – zelfs als het om identieke zaken gaat. Zodra een deelnemer een deur heeft gekozen wordt dat ‘hun’ deur, en zelfs al is er geen objectieve reden om die te verkiezen boven het alternatief, zijn ze afkerig om te wisselen.

goatcar

Een geit of een auto, of een geit in een auto? – via imgur

Opmerkelijk is dat we meer spijt hebben van een verkeerde actieve keuze dan van een verkeerde passieve keuze.

Een nog dwingender reden om bij je originele keuze te blijven is onze neiging om spijt achteraf te vermijden: we houden er niet van keuzes te maken die we ons later kunnen beklagen. Opmerkelijk hierbij is dat we meer spijt hebben van een verkeerde actieve keuze dan van een verkeerde passieve keuze. Stel je voor dat de auto achter de deur zat die je aanvankelijk koos, maar je wisselde en eindigde dus met een geit. Je had dus letterlijk de auto, maar gaf hem uit handen door te veranderen! Dat is heel wat anders dan het alternatieve scenario, waarin je oorspronkelijk een deur koos met een geit erachter, en bij je keuze bleef. Dat voelt aan als brute pech, eerder dan een stommiteit van een keuze.

Maar de meest treffende irrationaliteit in verband met het Monty Hall vraagstuk is niet die van de deelnemers, maar van diegenen die geloven dat de kans dat de auto achter een van de resterende deuren zit 1/2 is voor beide deuren. Wat we hier zien is het  backfire effect, een fenomeen dat ons niet enkel  blind maakt voor feiten die ons geloof tegenspreken, maar dat ook ons onjuiste geloof versterkt.

Toen Marilyn vos Savant in 1990 het Monty Hall-vraagstuk behandelde in haar Ask Marilyn column in het tijdschrift Parade, kreeg ze een vloed van verontwaardigde reacties van geleerde doctoren en professoren (sommige behoorlijk sexistisch) waarin men onverholen zei hoe dom het was te beweren dat de deelnemers beter van deur wisselden. We kunnen maar een positief besluit trekken uit de weinig verheffende commentaren op haar stuk destijds: we hoeven ons niet al te slecht te voelen wanneer we ten prooi vallen aan het backfire effect, als dit is wat het doet met de intellectuele elite…

Een verklaring

Waarom is het dan beter voor een deelnemer van deur te veranderen, en waarom is de kans dat de auto achter de andere deur zit 2/3 en niet 1/2? Beeld je in dat je het spel speelt, en dat Monty je, nadat je een deur hebt gekozen, de optie geeft beide andere deuren te kiezen in plaats van je originele voorkeur. Zou je dan moeten wisselen? Natuurlijk: de kans dat de auto achter jouw deur zit is 1/3, en de kans dat hij achter een van de andere deuren zit is dus 2/3. Het feit dat hij, in werkelijkheid, eerst een van die andere twee deuren opent voor hij je de mogelijkheid geeft maakt geen verschil: de kans dat de auto achter een van de deuren zit die je niet koos is nog steeds 2/3. En aangezien hij niet achter de net geopende deur zit, is de kans dat hij achter de resterende deur zit… 2/3.

Mocht je nog steeds niet overtuigd zijn (of worstelen met het backfire effect), er zijn tal van sites op het internet die het vraagstuk op allerlei manieren proberen te verduidelijken. En als je het begrepen hebt, is hier een kronkel om te testen of je het werkelijk snapt. Stel je voor dat een vriendin die het voorafgaande niet heeft gezien erbij komt net nadat Monty een van de twee overblijvende deuren heeft geopend. Welke deur moet zij kiezen voor de grootste kans om de auto te winnen: degene die jij oorspronkelijk koos, of de andere… of doet het hier echt niet ter zake?

Monty Hall is niet meer, maar hij zal eeuwig leven in het vraagstuk. Laten we ons hem herinneren met dit grapje dat econoom Alex Tabarrok tweette:

tabarroktweet

  Dit is een gastbijdrage. Een Apache-lezer levert met dit stuk een bijdrage aan het maatschappelijk debat. De auteur schrijft in eigen naam en is verantwoordelijk voor de inhoud van de tekst.

Auteur: Koen Smets

Koen Smets is een deskundige op het gebied van organisatie-ontwikkeling, met een fascinatie voor menselijk gedrag op de grens tussen het rationele en het irrationele. Hij is op Twitter als @koenfucius.