De denkfout die zelf een denkfout werd

 Leestijd: 6 minuten2

Ik ben al een tijdje een muntstuk aan het opgooien, en de laatste zes keren was de uitkomst kop. De kans op kop (of munt) is 1 op 2, maar de kans dat je zes keer na elkaar kop gooit is 1 op 2 tot de 6de macht, of 1 op 64. Wat is de kans dat mijn volgende gooi een zevende keer kop oplevert?

Het juiste antwoord is natuurlijk 1 op 2. Muntjes hebben geen geheugen. Wat eerder gebeurde kan geen invloed hebben op het huidige resultaat. Dat weten we allemaal, toch? Niettemin leidt onze intuïtie ons soms om de tuin.

Op 18 augustus 1913 was het balletje op een van de roulettetafels in het casino van Monte Carlo al bijna 20 keer na elkaar op zwart terechtgekomen. Dat trok de aandacht van verschillende gokkers die begonnen in te zetten op rood: na zo’n lange reeks van zwart was rood nu vast wel aan de beurt. Maar het balletje bleef koppig op een zwart getal vallen. Men zette meer en meer geld in op rood bij elke volgende speelbeurt – en men bleef verliezen, want telkens weer was de uitkomst zwart. Geef toe, hoe zou u uw geld inzetten nadat de uitkomst 25 keer op rij zwart was? Uiteindelijk landde het balletje, na een onafgebroken reeks van 26 keer zwart (kans: 1 op meer dan 136 miljoen), op rood.

Meer recent was er het getal 53 in de Italiaanse lotto dat al bijna twee jaar lang niet was voorgekomen, en dat blijkbaar mensen niet enkel het bankroet, maar zelfs de dood injoeg. Het fenomeen werd echter al veel vroeger beschreven, bijvoorbeeld door de vroeg-19de-eeuwse wiskundige Pierre-Simon de Laplace, zoals Joshua Miller en Andrew Gelman beschrijven in een fascinerend paper.

(Eindelijk rood! – foto SalFalko CC BY Casino)

Het zijn de gokkers die aan deze cognitieve illusie – dat, als iets gedurende een periode minder vaak voorkomt dan normaal, het in de toekomst vaker zal voorkomen (of vice versa) – haar naam geven: de gambler’s fallacy of gokkersmisvatting.

Laten we nochtans niet aannemen dat enkel dwangmatige gokkers door deze illusie worden ingepakt. Als uw buren, een gezin met vijf dochters, een zesde kind verwachten, wat is de kans dat het deze keer een jongen wordt? Voelde het niet heel even aan alsof die kans toch meer dan 1 op 2 moet zijn? Rekening houdend met aanhoudende droge en warme weer in België deze laatste weken, denkt u dat een droge tweede helft van augustus meer of minder waarschijnlijk is dan normaal?

We beschouwen lange reeksen alsof ze de volgende uitkomst voorspellen. Ons menselijke brein is niet uitgerust om met willekeurigheid om te gaan: we zien patronen waar er eigenlijk geen zijn. De figuur hieronder toont de uitkomsten van 50 opeenvolgende rotaties van de roulette (zonder nul). We weten dat rood en zwart even waarschijnlijk zijn, en we interpreteren dit intuïtief als “50% van de uitkomsten moet zwart zijn”. Wanneer we lange reeksen van eenzelfde kleur zien, dan denken we dat dit ongewoon is. Het universum is uit evenwicht, en er is een ommekeer nodig. Onze intuïtie vertelt ons dat na vijf keer zwart in A, rood meer waarschijnlijk moet zijn om dat evenwicht te herstellen. Een sequentie zonder zulke lange reeksen (als C) ziet er meer ‘normaal’ uit, maar het zijn A en B die daadwerkelijk willekeurig zijn, C is gemanipuleerd om 3 op de 4 keer een ommekeer te tonen.

De hot hand

Er is een ander fenomeen dat vaak wordt vergeleken met de gokkersmisvatting. De zogenaamde hot hand fallacy (de denkfout van de ‘warme’ of ‘gelukkige’ hand) werd voor het eerst beschreven door Thomas Gilovich, Amos Tversky en Robert Vallone in 1985. De hot hand verwijst naar een vermeende tijdelijke toestand bij basketbalspelers waarin ze een hogere kans hebben op een succesvolle worp, m.a.w. ze zullen reeksen van geslaagde worpen produceren. Een grote meerderheid van de fans, coaches en spelers gelooft dat spelers vaker scoren nadat ze al twee of drie keer hebben gescoord, dan nadat ze gemist hebben.

In verschillende studies slaagden de onderzoekers er niet in enige beduidende correlatie te vinden tussen worpen (behalve bij een speler). Het geloof in de hot hand in de basketbalsport was dus inderdaad een cognitieve illusie, het gevolg van “de verwachting dat willekeurige opeenvolgingen veel evenwichtiger zijn dan in werkelijkheid, en de foutieve perceptie van een positieve correlatie tussen opeenvolgende worpen.” De kans op scoren hangt niet af van wat voorafging.

Zowat 30 jaar lang bleef deze conclusie zo goed als onaangevochten. De hot hand fallacy bleef pal, als een van de meest robuuste denkfouten, zelfs nadat nieuw onderzoek met grotere datasets patronen blootlegde die consistent waren met het bestaan van een hot hand. Deze studies konden immers geen degelijke bepaling leveren van de grootte van het hot hand effect, en vormden dus geen echte bedreiging voor de algemeen aanvaarde inzichten.

Maar in 2016 ontdekten Joshua Miller en Adam Sanjurjo een fundamentele onvolkomenheid in de redenering van Gilovich & co. In een van hun originele studies hadden die de spelers geplaatst op een afstand van de korf vanwaar ze gemiddeld met 1 op de twee worpen scoren. Elke speler wierp de bal 100 keer, en zij stelden geen verschil vast in de scoringspercentages, ongeacht of de vorige worpen succesvol waren of niet. Intuïtief is dit precies wat je zou verwachten als je de uitkomsten van de spelers zou vervangen door de resultaten van 100 keer een muntstuk opgooien. Opeenvolgende worpen zijn onafhankelijk van elkaar, en dus verwachten we dat het percentage koppen na een reeks van voorafgaande koppen gelijk is aan het aantal keren dat munt uitkomt na zo’n reeks koppen.

Dit is niet het geval. Verbazend, maar inderdaad: dit is incorrect. Miller en Sanjurjo introduceren de hypothetische figuur Jack, die 100 keer een muntstuk opgooit. Telkens als de uitkomst kop is noteert hij de uitkomst van zijn volgende worp. Hij verwacht – net als Gilovich en co, en de meesten onder ons – dat ongeveer 50% van wat hij noteert kop zal zijn. Maar dat blijkt dus minder te zijn.

Laten we, om te illustreren waarom dat zo is, kijken naar een vereenvoudigde situatie, waarin Jack slechts drie keer het muntstuk opgooit. Er zijn acht mogelijkheden, weergegeven in de tabel:

In de eerste twee gevallen valt er niets te noteren. In de volgende vier gevallen is er een relevante ‘kop’ uitkomst, dus hij schrijft het resultaat van de volgende worp op. In de laatste twee gevallen zijn er twee relevante ‘kop’ uitkomsten, en schrijft hij dus twee resultaten op. De derde kolom toont de proportie ‘kop’ uitkomsten. In drie van de zes gevallen (3, 5 en 6) wordt kop gevolgd door munt, dus daar is de verhouding 0.

Geval vier ziet een kop na de kop, dus daar is ze 1 (of 100%). In de twee resterende situaties zijn er twee relevante ‘kop’ resultaten: in geval 7 levert dat een verhouding van 0,5 op, en in geval 8 zijn beide resultaten kop, dus nogmaals een 1.  Wat is de verwachte waarde van de proportie over alle reeksen van 3? Een eenvoudige berekening toont dat die 2,5/6 is (of 5/12), wat overeenkomt met 41,67% – een stuk minder dan de 50% die we allemaal verwachtten.

Miller en Sanjurjo leveren het wiskundige bewijs dat dit ook geldt voor langere eindige sequenties en voor langere reeksen van ‘kop’ resultaten: de kans dat kop uitkomt na een reeks koppen is steeds minder dan 50%. Het gevolg hiervan is duidelijk: een basketbalspeler die even goed scoort na een reeks succesvolle worpen als na een reeks gemiste worpen, presteert ongeveer 8 percentpunten beter dan je zou verwachten bij puur toeval. Dit is geen klein bier. Een top-NBA-speler scoort typisch zo’n 10% vaker dan een gemiddelde speler. Een hot hand maakt dus van een gemiddelde speler tijdelijk iemand die bijna speelt op topniveau!

Een verrassende denkfout

Als de hot hand werkelijk bestaat, dan is de hot hand fallacy natuurlijk zelf een denkfout. Hoe kon die dan zo lang blijven bestaan?

Terwijl ik aan dit stukje werkte publiceerde Dan Kahan, een professor rechten aan de universiteit van Yale, een post die mijn eigen analyse goed verwoordt. De auteurs van de originele studie, en velen die hun conclusies naderhand volgden, gingen ervan uit dat het geloof in de hot hand veel gelijkenis vertoont met de gokkersmisvatting: de onjuiste overtuiging dat onafhankelijke gebeurtenissen in feite niet onafhankelijk zijn. Dat ziet eruit als een typische fout van het Systeem-1 – het denksysteem dat door Daniel Kahneman werd gepopulariseerd in Thinking, Fast and Slow: snel en impulsief, maar daarom ook makkelijk te misleiden.

Zo’n denkfout, inherent in het geloof in het bestaan van een hot hand, toon je uiteraard het best aan via het bewuste, weloverwogen, systematische gebruik van Systeem-2 denken in het onderzoek uit 1985. Echter, zoals Miller en Sanjurjo aantoonden, schuilde er een foute intuïtie onder de oppervlakte. Denkfouten worden algemeen toegeschreven aan een overdreven vertrouwen in Systeem-1. Maar hier hebben we een situatie waarin de onderzoekers niet alleen onterecht een Systeem-1 bias vermoedden bij diegenen die in de hot hand geloven, maar ook nalieten hun eigen veronderstellingen te toetsen.

Daarin ligt een les voor wie wetenschappelijk onderzoek verricht: trek je veronderstellingen en je intuïtie in twijfel, ook wanneer – zelfs in het bijzonder wanneer die compleet vanzelfsprekend lijken. Verifieer ze te pletter, en haal daar desnoods je meest kritische collega’s bij.

Maar er is ook een bredere les voor iedereen. Andrew Gelman, een statisticus die met graagte slordig statistisch werk blootlegt, beschrijft hoe Gilovich reageert op de kritiek door zich extra hard vast te klinken aan zijn originele conclusies.

Wanneer we halsstarrig vasthouden aan een overtuiging die aan het afbrokkelen is onder invloed van nieuwe bewijzen, dan worden we daar uiteindelijk nochtans niet beter van. Er zijn tal van cognitieve verklaringen waarom we desondanks die neiging hebben, van confirmation bias tot sunk cost fallacy – maar dat hoeft niet zo te zijn. Als we ons niet identificeren met een overtuiging – als we ze, zoals Nick Maggiuli schrijft, behandelen als kleren die we kunnen uittrekken, eerder dan tatoeages waar we mee zitten tot het eind onzer dagen (of tot de pijnlijke verwijdering ervan), dan zullen we het niet zo moeilijk hebben oude, voorbijgestreefde standpunten te vervangen door betere.

Daar geloof ik vast in – tenminste, tot wanneer ik word geconfronteerd met geloofwaardig bewijsmateriaal voor het tegendeel.

  Dit is een gastbijdrage. Een Apache-lezer levert met dit stuk een bijdrage aan het maatschappelijk debat. De auteur schrijft in eigen naam en is verantwoordelijk voor de inhoud van de tekst.

Auteur: Koen Smets

Koen Smets is een deskundige op het gebied van organisatie-ontwikkeling, met een fascinatie voor menselijk gedrag op de grens tussen het rationele en het irrationele. Hij is op Twitter als @koenfucius.