Marcus du Sautoy (57), hoogleraar wiskunde aan de Universiteit van Oxford, is een enthousiaste man. Dat enthousiasme is aanstekelijk en een bijzonder krachtige eigenschap die hij ten volle gebruikt, ook in zijn nieuw boek met als originele titel Beter denken, de kunst van de shortcut. In zekere zin is het een reactie op Thinking, Fast and Slow van Daniel Kahneman, waarin wordt gesuggereerd dat we ofwel snel denken maar eerder lukraak ofwel met precisie maar dan langzaam.
“De reden waarom ik het boek deze titel gaf, is om daar tegenin te gaan. Snel denken, dat is zogenaamd ons intuïtieve reptielenbrein, en dat geeft ons vaak de verkeerde oplossing. Dus moeten we langzaam denken, met ons analytische frontale hersenkwab. Maar ik beweer nu net dat dat niet langzaam hoeft te zijn.”
Die shortcuts bevatten een contradictie, die tegelijk ook de schoonheid ervan belichaamt, zegt Du Sautoy. “Als tiener was ik vooral aangetrokken door het feit dat die shortcuts snel tot resultaten leiden, dat sprak vooral mijn luie kant aan."
"Maar tegelijk is er dat andere gevoel, dat je door inspanning te doen en hard na te denken niet enkel de oplossing vindt, maar vooral dat je een nieuw inzicht krijgt dat alles vereenvoudigt, dat je plotseling ziet hoe alles in elkaar zit en dat paadje ontdekt dat direct naar de andere kant leidt. Dat is waar ik, als wiskundige, voor leef.”
Een echt goede shortcut lost vele problemen tegelijk op. Algebra is een mooi voorbeeld. “Als kind hield ik daar al van: je vindt bijvoorbeeld een bepaald patroon met zekere getallen, en dan besef je plots dat daar een soort grammatica onder zit, waardoor het met álle getallen werkt.”
Artificiële intelligentie
Is artificiële intelligentie dan ook een shortcut? “Technisch lijkt dat misschien wel zo, want AI laat ons toe sneller resultaten te bereiken. Maar wat toch meestal ontbreekt, is dat inzicht en begrip waar ik naar op zoek ben.”
Shortcuts zijn vaak het tegendeel van artificieel. De natuur staat bol van de shortcuts (want daar is energetische efficiëntie, zowel bij levende organismen als bij levenloze materie, een basisregel). Du Sautoy bespreekt in zijn boek verschillende voorbeelden: van de patronen die de structuur van virussen en honingraten bepalen tot honden die aan differentiaalrekenen lijken te doen.
Maar als de weg van de minste energie zo alomtegenwoordig is in de natuur, is het dan niet een beetje raar dat wij mensen er zo lang over hebben gedaan om die shortcuts te ontdekken, terwijl virussen, bijen en honden dat blijkbaar ingebouwd hebben?
“Wat de natuur en in zekere zin ook artificiële intelligentie vóór hebben op ons, is tijd en energie. De natuur kan alles uitproberen, en alleen de goede oplossingen blijven voortbestaan. Dat zie je in de evolutie: bijen hebben wellicht allerlei vormen van honingraat gebruikt en na talloze generaties bleek dat die met de zeshoek de meest succesvolle waren."
"In de kwantumfysica kunnen lichtdeeltjes alle mogelijke routes van A naar B tegelijkertijd uitproberen, en dat schuift dan ineen tot de snelste route. Wij hebben die luxe niet. Wat wij wel kunnen, is uitrekenen waarom zeshoekige honingraten optimaal zijn of welke de snelste route is voor een lichtstraal, al moesten we daarvoor wel eerst de wiskundige analyse uitvinden die ons de nodige formules levert”, zegt Du Sautoy.
Menselijk vernuft
We zijn dus eigenlijk veel beter dan de natuur, want wij hebben geen miljoenen jaren nodig om een shortcut te vinden, hooguit enkele decennia? “Ja, precies! En het mooie is dat we vaak onze eigen aanpak kunnen combineren met die van de natuur: wat is er zo speciaal aan de zeshoek die we in honingraten vinden? De bijen hebben daar niet analytisch over nagedacht, maar ik kan dat wel doen."
"En ik kan hetzelfde doen met de suggestie van een artificiële intelligentie voor een efficiënte oplossing gebaseerd op een zoektocht door big data, en nagaan waarom dat dan zo efficiënt is.” Artificiële intelligentie als een soort Watson voor onze eigen Holmes? “Dat is een mooie metafoor. Samen kunnen we meer.”
Het boek is ook een hulde aan het menselijke vernuft en betwist dat er weldra, dankzij artificiële intelligentie, geen nood meer zal zijn aan wat mensen te bieden hebben. “Integendeel”, zegt Du Sautoy. “Wij moeten wel slim blijven zijn, want we willen meer bereiken dan we met onze beperkte energie kunnen. En dus moeten we voortdurend manieren verzinnen om meer te kunnen doen zonder meer energie te spenderen.”
Het plan was aanvankelijk niet het over een wiskundige boeg te gooien. Maar naarmate Du Sautoy voorbeelden verzamelde, werd al gauw duidelijk hoezeer wiskunde een rode draad vormde die de verschillende types shortcuts aan elkaar rijgt. En zo ontstonden de tien hoofdstukken die elk vanuit een bepaalde wiskundige invalshoek het concept van de shortcut benaderen, van meetkunde tot patronen en van kansrekenen tot differentiaalrekenen.
Alleen het hoofdstuk dat rond de shortcut over taal gaat, wijkt wat af. Of is dat niet zo? “Nee, ik vind van niet”, zegt Du Sautoy. “Ik zou eerder zeggen dat taal centraal staat in de wiskunde, een taal die vat hoe alles werkt. Denk maar aan de taal van de algebra, waarin x om het even welk getal kan zijn en het mogelijk maakt om abstract over getallen te gaan denken.”
Valkuilen vermijden
Sommige shortcuts bevatten wel valkuilen, bijvoorbeeld degene die zijn gebaseerd op patronen. We zien immers vaak patronen waar er geen zijn. Hoe kunnen we die valkuilen vermijden? “Een goede wetenschapper zal proberen de rol van good cop én bad cop te spelen. Eerst de goede agent die met open geest op zoek gaat naar getallen en patronen, en zodra je er een vindt de gemene agent die alles op alle mogelijke manieren in twijfel trekt.”
Andere lijken dan weer uit de gereedschapskist van een goochelaar te komen. In zijn boek beschrijft Du Sautoy de wonderlijke ontdekking van de imaginaire getallen, opgebouwd rond de ‘onmogelijke’ vierkantswortel uit -1, die een shortcut mogelijk maakten naar de oplossing van derdegraadsvergelijkingen. Maar dan moest je wel eerst even, net als Alice in Wonderland, door de spiegel naar de wereld van de imaginaire getallen, om ten slotte weer terug te keren en de reële oplossingen te vinden.
Zijn er nog zulke vreemde trucjes, vragen we ons af. Hij schudt er nog eentje uit zijn hoed: “Als je een half, een vierde, een achtste en zo tot in het oneindige allemaal bij elkaar optelt, wat is dan het resultaat? Daarvoor is er een shortcut, die aanvankelijk de zaak nog ingewikkelder lijkt te maken. Je verdubbelt elke term in de oneindige optelling: 1, een half, een kwart enzovoort. En van deze nieuwe oneindige reeks trek je de oorspronkelijke oneindige reeks af, die start bij een half. En abracadabra, wat je overhoudt is 1 en dat is het antwoord.”
Shortcuts lijken op het eerste zicht wat op heuristieken, de vuistregels die in de gedragswetenschappen een grote rol spelen en die typisch voor een fractie van de mentale inspanning een goede benadering geven van een accurate oplossing. Maar er zijn toch verschillen, zegt Du Sautoy.
“Onze vroegste shortcuts, voor we aan wiskunde gingen doen, waren inderdaad heuristieken en die werkten prima in de toenmalige samenlevingen van een honderdtal mensen, maar op grotere schaal werken ze soms niet meer zo goed."
"Heuristieken rond het bepalen van kansen zijn afgrijselijk slecht voor het bepalen van risico’s. Wat een redelijke benadering was voor honderd mensen kun je niet zomaar extrapoleren naar een miljoen. Shortcuts hebben ook een beetje de reputatie van kort door de bocht te gaan, maar dat is voor mij niet het geval. Ze brengen je precies waar je wezen moet.”
Analyse boven statistiek
Statistiek is een van de meer spectaculaire shortcuts. “Er zijn zeven miljoen katten in het Verenigd Koninkrijk, en de reclame voor kattenvoer van Whiskas beweert dat acht op de tien onder hen hun merk verkiezen. Hoeveel katten zou je moeten testen om die bewering met een degelijke betrouwbaarheid te kunnen maken? Welnu, de statistiek leert ons dat je daarvoor maar een staal van 250 katten nodig hebt."
"Dat gaat helemaal in tegen onze intuïtie. Je steekproef is niet gegarandeerd representatief, maar je weet wel dat de kans dat je fout groter is dan 5% een op twintig is. Geen 100% precisie, en dus neigend naar de heuristiek, maar wel een goed geïnformeerde heuristiek.”
Is statistiek dan de krachtigste shortcut die we hebben bedacht? Nee, stelt Du Sautoy. “Voor mij komt die eer de wiskundige analyse toe, die Newton en Leibniz ontwikkelden aan het eind van de zeventiende eeuw. Daarmee kon je voor het eerst op een exacte manier beschrijven hoe een bepaalde grootheid verandert en een maximum of minimum bereikt. Je ziet hoe ze allebei een baanbrekende rol speelden in de maatschappij: analyse luidde het tijdperk van de wetenschap in, statistiek was het begin van het industriële tijdperk.”
Analyse als voorloper van statistiek dus? “Zeer juist. Je kunt statistiek niet ontwikkelen zonder dat je eerst analyse hebt. En op nummer drie komt dan kansrekening, met Fermat en Pascal. Daarmee werd wat tot dan toe ‘in de handen van de goden’ was ineens berekenbaar. Sterker nog, de artificiële intelligentie van vandaag maakt gebruik van statistische analyse en van kansrekening, om te bepalen welke volgende zin de meest waarschijnlijke is.”
Additionele intelligentie
“Priemgetallen: die hebben wij niet verzonnen, we hebben ze ontdekt. Maar de verhalen errond – is het niet opwindend dat er oneindig veel zijn? – en de vragen die we hebben, die hebben wij wel geschapen. En is er een systeem in de gaten tussen twee opeenvolgende priemgetallen? Dat weten we nog niet. Maar die vraag weerspiegelt onze menselijkheid en onze creativiteit. En die wordt aangedreven door emotie: we zijn niet geïnteresseerd in saaie oplossingen, we zijn op zoek naar de sublieme voldoening van de mooie oplossing, waarin complexiteit verdwijnt en eenvoud verschijnt.”
Maar shortcuts werken niet altijd en overal. Daarom is het laatste hoofdstuk in het boek, De onmogelijke shortcut, van belang, verklaart Du Sautoy. Het is goed te weten voor welke problemen er shortcuts bestaan, maar ook waar er geen zijn. “Maar als er een shortcut is, dan is het vaak een goed idee je geest op iets anders of op helemaal niets te richten. En bijvoorbeeld letterlijk de lange weg te nemen om je onbewuste de kans te geven de korte weg te vinden.”
Het lijdt geen twijfel dat Du Sautoy ervan overtuigd is dat de mensheid een schitterende toekomst wacht, met nog heel wat te ontdekken shortcuts. “Ons brein heeft immers zijn eigen shortcuts en wij, met de hulp van de natuur en van artificiële intelligentie, zijn de krachtigste oplosser van problemen, want we vullen elkaar aan. Daarom vertaal ik overigens ‘AI’ liever als additionele intelligentie.”
Voor we afscheid nemen, willen we nog graag te weten komen wat zijn favoriete shortcut is uit het boek. Hij aarzelt geen moment. “De shortcut die Euler bedacht voor het probleem van de Zeven Bruggen van Koningsbergen. Kun je in een netwerk een route vinden waarbij elke verbinding - elke brug - exact één keer wordt doorlopen?"
"Het antwoord, of het nu om zeven bruggen gaat of vijftig, wordt gegeven door het aantal punten met een oneven aantal verbindingen met andere punten. Enkel wanneer er exact nul of twee zulke knooppunten zijn, kan dat en anders niet. Dat is briljant!”
